যৌগিক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত সম্পর্কিত সমস্যা ক্লাসটি “ম্যাথমেটিক্স- ১ [ Mathematics- 1 ]” কোর্সের “অধ্যায় ১০/Chapter 10 (যৌগিক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত)” অধ্যায়ে পড়ানো হয় | এই ক্লাসটি বাংলাদেশ কারিগরি শিক্ষা বোর্ড [Bangladesh Technical Education Board] এর পলিটেকনিক [Polytechnic] ডিসিপ্লিন এর ডিপ্লোমা ইন ইলেক্ট্রিক্যাল [Diploma in Electrical], “১ম সেমিস্টার, ইলেকট্রিকাল টেকনোলজি [ 1st Semester, Electrical Technology ]” এ পড়ানো হয়।
যৌগিক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত সম্পর্কিত সমস্যা
সূচনা ( Introduction )
দুই বা ততোধিক কোণের বীজগাণিতিক সমষ্টিকে যৌগিক বা মিশ্র ( Compound angle ) কোণ বলে। উদাহরণস্বরূপ A , B ও C তিনটি কোণ হলে ( A+B ) , ( A+C ) , ( B+C ) , ( A-B+C ) ইত্যাদি হল যৌগিক কোণ। এই অধ্যায়ে আমরা যৌগিক কোণের ত্রিকোণমিতিক কোণানুপাত সম্পর্কে আলোচনা করব।
উপপাদ্য ( Theorem )
উপপাদ্য ১ : A , B এবং ( A+B ) ধনাত্মক সূক্ষকোণ হলে , প্রমাণ করতে হবে যে
- sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin(+)=sincos+cossin
- cos(A+B)=cosAcosB−sinAsinBcos(+)=coscos−sinsin
মনে করি ঘূর্ণিয়মান OX−→−→ সরলরেখা O বিন্দুকে কেন্দ্র করে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে আবর্তন করে এবং প্রাথমিক অবস্থান OX−→−→ থেকে OY−→−→ অবস্থানে এসে ∠XOY=A∠ সূক্ষকোণ উৎপন্ন করে।
তারপর রেখাটি একই দিকে আবর্তন করে OY−→−→ অবস্থান থেকে OZ−→−→ অবস্থানে আসে এবং ∠YOZ=B∠ সূক্ষকোণ উৎপন্ন করে। তাহলে যদি ∠XOZ=A+B<90∘<90∘ হয়।
প্রমাণ করতে হবে
- sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinBsin=sincos+cossin
- cos(A+B)=cosAcosB−sinAsinBcos=coscos−sinsin
অঙ্কন : ( A+B ) যৌগিক কোণের অন্তিম বাহু OZ−→− ওপর যেকোনো বিন্দু P নেওয়া হল এবং P বিন্দু থেকে OX−→− এবং OY−→−→ সরলরেখার উপরে PQ−→−→ এবং PR−→−→ লম্ব টানা হল। তারপর R বিন্দু থেকে OX−→−→ এবং PQ−→−→ এর ওপর যথাক্রমে RS−→→ এবং RT−→−→ লম্ব টানা হল।
প্রমাণ : স্পষ্টতই ∠TPR+∠PRT=90∘∠=90∘
এবং ∠ORT+∠PRT=90∘∠=90∘
সুতরাং ∠TPR=∠ORT=∠= একান্তর ∠ROX=A∠
এখন সমকোণী ত্রিভুজের POQ থেকে পাই
sin(A+B)=PQ−→−OP−→−=PT−→−+TQ−→−OP−→−=PT−→−OP−→−+TQ−→−OP−→−=PT−→−OP−→−+RS−→OP−→−=PT−→−PR−→−⋅PR−→−OP−→−+RS−→OR−→−⋅OR−→−OP−→−
=cosAsinB+sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB
যৌগিক কোণের ত্রিকোণমিতিক অনুপাত সম্পর্কিত সমস্যা নিয়ে বিস্তারিত :
আরও দেখুনঃ